Apertura

El enfoque de enseñanza de la educación matemática realista (EMR) destaca que las “situaciones realistas” son fundamentales para el aprendizaje de esta materia. De acuerdo con esta corriente, las matemáticas comienzan en la realidad, entendiéndola como una construcción histórica y cultural (Freudenthal, 1991). En consecuencia, si la educación matemática parte de situaciones que son significativas para los estudiantes, entonces tienen la oportunidad de atribuirles significado a las construcciones mentales que desarrollan mientras resuelven situaciones problemáticas. De este modo, sus conocimientos se vuelven gradualmente más formales y menos dependientes del contexto inicial. Por lo tanto, los estudiantes son participantes activos en el desarrollo de su propio aprendizaje y en la construcción de modelos que matematizan la realidad a partir de un contexto cotidiano (Gravemeijer, 2020).

En la EMR se identifican dos tipos de matematización: la matematización horizontal, donde los estudiantes transitan de lo real a lo simbólico para dar respuesta a problemas del propio contexto, y la matematización vertical, donde los estudiantes realizan conexiones conceptuales y crean estrategias para resolver problemas dentro del sistema matemático, es decir, se separan del contexto hacia el camino de la abstracción y la generalización (Van den Heuvel-Panhuizen & Drijvers, 2020).

De acuerdo con Freudenthal (1991), el contexto y el diseño didáctico debe permitir a los estudiantes transitar de la matematización horizontal hacia la matematización vertical. Gravemeijer (2020) identifica cuatro niveles hacia la matematización vertical: 1) nivel situacional: se interpreta y organiza la realidad mediante razonamientos matemáticos informales y dependientes del contexto (matematización horizontal); 2) nivel referencial: se crean esquemas y modelos que tienen sentido dentro del contexto inicial, comienza la matematización vertical al surgir “modelos de...”; 3) nivel general: se relacionan los conceptos, se generan estrategias que se separan del contexto, el razonamiento se da en el mundo matemático y surgen “modelos para...”; y 4) nivel formal: se comprenden los conceptos mediante su simbolismo matemático, la reflexión ha transitado al mundo matemático y se puede prescindir de los modelos.

En cuanto a nuestro objeto de estudio, partimos de la definición de Lesh et al. (1988): “El razonamiento proporcional es la habilidad que permite trabajar con situaciones que impliquen variación, cambio, sentido de covariación y comparación múltiple, además de la capacidad de procesar y almacenar mentalmente varias piezas de información” (p. 93). Acorde a esta definición, Modestou y Gagatsis (2010) desarrollaron un modelo de razonamiento proporcional que puede ser descrito en tres categorías: razonamiento analógico, proporcionalidad y conciencia meta-analógica (ver figura 1). Para la presente investigación nos afiliamos a esta propuesta y coincidimos en que una enseñanza inadecuada contribuye a crear el obstáculo epistemológico de la linealidad.

Figura 1 Fuente: adaptado de Modestou y Gagatsis (2010).

Respecto a lo que involucra el razonamiento proporcional, identificamos las habilidades proporcionales como aquellas facultades que son señaladas como necesarias para que una persona posea un razonamiento proporcional sólido. Lobato et al. (2010) y Weiland et al. (2021) indican que estas habilidades deben incluir: 1) atender y coordinar dos cantidades que varían dependientemente, 2) reconocer y utilizar las estructuras de las situaciones proporcionales (equivalencia de razones, constante de proporcionalidad y linealidad), 3) comprender la proporcionalidad desde múltiples representaciones (simbólica, algebraica, tabular y gráfica), y 4) distinguir las situaciones lineales de las no lineales. Consideramos que estas cuatro habilidades son clave para nuestro estudio y las nombramos como habilidades proporcionales.

Muttaqin et al. (2017) mencionan que para desarrollar en los estudiantes habilidades de razonamiento proporcional, los profesores pueden proponer tareas de razones y proporciones en un contexto amplio que permita a los estudiantes experimentar, discutir y realizar predicciones; además, las tareas deben ayudarlos a conectar el razonamiento proporcional con otros procesos que ya ejecuten o comprendan. En nuestro diseño de tareas tenemos en cuenta estas recomendaciones de enseñanza para promover las cuatro habilidades de razonamiento proporcional expuestas anteriormente.

Para englobar el marco teórico y pautar la intervención nos apoyamos en el enfoque de investigación basada en diseño (IBD) propuesto por Bakker (2018). La naturaleza cíclica del enfoque está basada en tres fases: 1) preparación y diseño, 2) experimento de enseñanza (implementación) y 3) análisis retrospectivo y rediseño. Debido a que en este tipo de investigación el diseño y la innovación en el aula son aspectos clave, se propone el uso de la tecnología digital para permitir a los estudiantes interactuar con múltiples representaciones, facilitar la simulación de situaciones realistas y comprobar sus propios resultados en entornos didácticos virtuales interactivos (EDVI).

Para organizar el diseño de las tareas que guían a los estudiantes en el proceso de matematización, nos sustentamos en la trayectoria hipotética de aprendizaje (THA) (Simon, 2020). A su vez, en el diseño de las actividades que integra cada tarea nos apoyamos del marco didáctico Cuevas-Pluvinage, que aporta una ingeniería didáctica que rescata principios didácticos de Piaget y de la escuela activa adaptándolos a la educación matemática (Cuevas & Pluvinage, 2003).

En cuanto al uso de la tecnología, encontramos que una de las labores más complejas para un docente es implementar principios de una didáctica de corte constructivista en un aula tradicional con los elementos usuales. Por ejemplo, introducir en un aula tradicional un concepto matemático mediante la problematización de una situación cotidiana resulta casi imposible. Una posible solución es contar con un escenario virtual que simule un fenómeno real, donde los estudiantes interactúen con diversos contextos de forma dinámica y que su uso permita la construcción de conocimiento matemático (Moyer-Packenham & Bolyard, 2016).

De este modo se brinda a los alumnos la oportunidad de acción y de aprender a su propio ritmo. La tecnología digital dota al estudiante y al profesor de una especie de laboratorio portátil al utilizar diversos dispositivos, como teléfonos móviles y tabletas (Cuevas et al., 2017). La problemática expuesta y las consideraciones teóricas anteriores nos conducen a la siguiente pregunta de investigación: ¿qué ventajas (o desventajas) se pueden apreciar en el razonamiento proporcional de los estudiantes cuando se les plantean tareas de proporcionalidad, en contextos realistas mediados por la tecnología, enfocadas a la distinción entre situaciones lineales y no lineales?

Se diseñaron y desarrollaron: 1) una preprueba para obtener un diagnóstico de los prerrequisitos matemáticos para abordar los temas a estudiar; 2) una THA que guía el proceso de enseñanza y marca los objetivos de aprendizaje; 3) tres secuencias de actividades didácticas con sus respectivos EDVI “Naranjada”, “Zoom Totoro” y “Autos”; y 4) una encuesta para detectar posibles problemas de instrumentación. La preprueba y la encuesta final se alojaron en Formularios de Google para que se respondieran en casa con el fin de ahorrar tiempo de aula.

Se diseñaron tres EDVI en GeoGebra, con sus respectivas hojas de exploración y aprendizaje guiado (HEAG). Para el diseño se consideró que los entornos virtuales fueran de proporciones adaptables para su visualización en distintos dispositivos. La secuencia de las actividades se puede observar en la ruta didáctica que muestra la figura 2.

Figura 2 Fuente: elaboración propia.

Tarea 1: se trata de comparar propuestas de mezcla de zumo de naranja y agua (ver figura 3a y 3b). El objetivo es que los estudiantes aprendan a plantear, comparar y determinar equivalencia entre razones, así como generar tablas de razones equivalentes e identificar la constante de proporcionalidad. Finalmente, se realiza una actividad extra para aplicar el conocimiento aprendido en contextos diferentes.

Tarea 2: se debe realizar un efecto zoom para reducir o aumentar una imagen de figuras del personaje Totoro acorde con una razón de semejanza que se introduce en una casilla de entrada (ver figura 3c). El objetivo es que los estudiantes desarrollen actividades de semejanza utilizando la constante de proporcionalidad. También se pretende afrontar el problema de la ilusión de la linealidad al tabular y graficar las relaciones razón-perímetro (lineal) y razón-área (cuadrática), con el fin de conducir a los estudiantes hacia la comparación de ambos modelos.

Tarea 3: consiste en visualizar un automóvil que se mueve a una velocidad constante superior al límite permitido y una patrulla que inicia una persecución con aceleración constante en el momento que el auto pasa a su lado (ver figura 3d). El objetivo es que los estudiantes interactúen con el EDVI mientras describen, analizan y comparan las características y las representaciones de los dos movimientos, es decir, el movimiento rectilíneo uniforme (MRU) y el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA). De este modo, los estudiantes deben identificar los modelos presentes (lineal y cuadrático) para compararlos y transitar en sus representaciones tabular, gráfica, algebraica y simbólica.

Figura 3 Fuente: elaboración propia.

El estudio se realizó mediante una intervención presencial en dos grupos de una secundaria técnica en México. Participaron en el estudio 35 estudiantes, de catorce y quince años, en el invierno de 2021. La instrucción se dividió en tres sesiones de 90 minutos en un salón de cómputo de la escuela. Cada estudiante contó con una computadora personal que tenía precargados los EDVI, y también tuvieron sus respectivas HEAG de forma impresa. La intervención estuvo a cargo de un autor de este artículo, apoyado por el profesor del grupo y un asistente de investigación. En las sesiones se promovió un aprendizaje colaborativo y se discutieron las respuestas en grupo.

En esta tarea los estudiantes mostraron habilidades para plantear razones en distintas notaciones, comparar razones, aplicar el principio multiplicativo para obtener razones equivalentes y utilizar el método de la razón unitaria para resolver problemas prácticos. Al realizar las actividades de la naranjada, los alumnos utilizaron sus conocimientos previos en un proceso de matematización horizontal, asimilando correctamente tres notaciones equivalentes para una razón (a es b, a:b, a/b). Todos notaron que debido a una propuesta aleatoria de naranjada, la intensidad de sabor depende de un proceso de covariación, por lo que se refleja el nivel situacional, es decir, su actividad matemática se produce dentro del mundo numérico solo para interpretar el contexto y emitir un juicio, la matematización horizontal es un ir y venir del contexto al mundo matemático.

Un hallazgo que aporta a responder la pregunta de investigación se generó durante las actividades de esta tarea; el EDVI presentó a algunos estudiantes un par de propuestas de naranjada en las que la diferencia entre el antecedente y el consecuente era la misma en ambas razones, por ejemplo 2:7 y 3:8 (ver figura 4a). En ese momento se manifestó una forma intuitiva que utilizaban los estudiantes para comparar las razones, la cual consistía en realizar mentalmente una biyección 1 a 1 entre vasos de naranja y vasos de agua para tomar una decisión acerca del sabor con base en los vasos sobrantes. En el ejemplo de la figura 4a, una vez hecha la biyección, en ambos escenarios quedó el mismo número de vasos de agua sin asociar, por lo que los estudiantes respondieron que las dos tienen el mismo sabor, es decir, la misma proporción.

Esta concepción errónea la extendían a todas las situaciones y les funcionó cuando los vasos restantes de agua fueron distintos, con excepción de las razones equivalentes. No obstante, cuando los vasos restantes de agua fueron iguales, el EDVI señaló el error, incomprensible para algunos de los estudiantes. Al cierre de la sesión, mediante una discusión grupal, se precisaron métodos para comparar razones y se comprobó que la mayoría de los alumnos adoptaba el razonamiento descrito, incluso algunos se mostraron sorprendidos de que el método fallara. Debido a que el EDVI entrega propuestas aleatorias, se detectó esta concepción errónea y los estudiantes tuvieron la necesidad de cambiar la forma en que interpretaban y comparaban las razones.

La actividad de completar tablas de razones equivalentes está sujeta al contexto (mezclas naranja-agua en la misma proporción): se observó en algunos estudiantes la persistencia del razonamiento aditivo en vez del multiplicativo (ver figura 4b). Una manera de comparar las razones equivalentes de las tablas es considerar pares de razones que tengan numeradores o denominadores iguales; los estudiantes se valieron de ese hecho (ver figura 4c) para hacer juicios numéricos y dar un argumento de covariación basado en el denominador de las razones.

En los ejercicios de aplicación, posteriores a la actividad con el EDVI, 43% de los estudiantes utilizó eficientemente el método de la razón unitaria para comparar razones. En la figura 4d se muestra un ejercicio de ordenamiento de razones (adaptado de Lamon, 2020), que consiste en acomodar un conjunto de animales en relación con su peso y la cantidad de alimento que consumen. El método de la razón unitaria para resolver problemas en contextos diferentes se ubica en el nivel referencial de la habilidad para reconocer y utilizar las estructuras proporcionales.

Figura 4 Fuente: elaboración propia.

Los alumnos mostraron la habilidad para transitar entre las representaciones tabular, gráfica y algebraica de la proporcionalidad, obteniendo un modelo que describe el perímetro de rectángulos semejantes. En la etapa inicial de la tarea se involucran procesos de visualización, medida y principio multiplicativo. La actividad de calcular las dimensiones de la imagen del EDVI para distintas razones está anclado al contexto (nivel situacional); sin embargo, al seguir el patrón se marca el camino al nivel referencial, ya que los estudiantes notaron que para obtener las medidas de la imagen replicada se deben multiplicar las medidas de la imagen original por la razón de semejanza (ver tabla en la figura 5a).

Para calcular el perímetro de imágenes ampliadas según una razón de semejanza, los estudiantes se basaron en la tabla de dimensiones alejándose del contexto debido a que el concepto inicial se relaciona, en primera instancia con el perímetro y, en segunda, con el área. La figura 5a corresponde a un estudiante que calcula los perímetros para las razones propuestas en la tabla, logra llegar a la expresión lineal P = 9x y aplica el modelo particular encontrado; además, transita correctamente entre las representaciones tabular y gráfica, reconociendo las características lineales del contexto.

Es importante señalar que, aunque 75% de los participantes realizó de forma correcta la tabla y la gráfica del perímetro (ver figuras 5a y 5b), posteriormente se identificó que solo 18% reconoció la característica lineal de la variación del perímetro con respecto a la razón de semejanza, por lo que no se asociaron de manera general las características lineales de las representaciones con el concepto de perímetro. En cuanto al tránsito entre las representaciones de la relación razón-área, solo 25% de los estudiantes completó la tabla y realizó la gráfica (ver figura 5c), pero ninguno obtuvo un modelo algebraico correcto. En consecuencia, los estudiantes no tuvieron la oportunidad de contrastar entre la propiedad lineal del perímetro y cuadrática del área. En general los alumnos no fueron más allá del nivel situacional en las actividades de esta tarea debido a las dificultades aritméticas y a sus carencias en cuanto a los conceptos de perímetro y área.

Figura 5 Fuente: elaboración propia.

Los estudiantes evidenciaron su habilidad de distinguir una situación lineal de una que no lo es. En general, identificaron los rasgos distintivos de cada una en las distintas representaciones. En un inicio, las actividades en este EDVI son de instrumentación y contextualización. Todos los estudiantes encontraron las características de los movimientos, tanto a velocidad constante como a aceleración constante. Sus ideas informales sobre estos conceptos se modificaron al interactuar con el EDVI, al señalar las características de las variables del contexto y al realizar las observaciones solicitadas en las actividades de la tarea.

A partir del contexto, todos los estudiantes completaron las tablas de covariación indicadas; de estas, solo 60% describió correctamente el movimiento lineal y apenas 25% dio muestras de encontrar un patrón de variación para la aceleración (ver figuras 6a y 6b). Lo anterior debido a que transitar del contexto a la representación tabular y, a la postre, de la representación tabular a la gráfica, resulta intuitivo para los estudiantes, incluso la mayoría reconocen las características lineales de la situación. Cabe señalar que reconocer el patrón de variación para expresar de forma explícita un modelo algebraico general es una tarea que requiere mayor abstracción.

En ese sentido, 81% de los estudiantes graficó correctamente ambos movimientos y los comparó (ver figura 6c); empero, solo 65% llegó a conclusiones de carácter general (ver figura 6d), por lo que es claro que dar el salto hacia el nivel general requiere un mayor acompañamiento de las actividades. En este punto de la intervención se observó un claro progreso en las habilidades de razonamiento proporcional de los estudiantes. En esta última tarea, 65% de los estudiantes identificó relaciones entre las variables que van más allá del contexto inicial, al concluir que la variación es proporcional (en el automóvil) y cuadrático (en la patrulla).

En la figura 6d se muestra cómo un alumno interpreta el movimiento y la variación, al argumentar que, si se recorren distancias iguales en tiempos iguales, distancia y tiempo tienen una relación constante, y añade que el crecimiento de la aceleración siempre superará al de la velocidad porque “la velocidad del auto no cambia y la de la patrulla aumenta constantemente”. En estos razonamientos se observa un enriquecimiento conceptual que trasciende al contexto; las manipulaciones no son numéricas o algebraicas, son de carácter general, es decir, son razonamientos que aplican para cualquier contexto de MRU y MRUA. Al respecto, Freudenthal (1991) menciona que “la relación entre la razón constante y la linealidad es una hazaña de matematización vertical” (p. 43).

Figura 6 Fuente: elaboración propia.

La tabla 2 muestra el resumen del análisis de resultados con base en los criterios establecidos en la metodología. En la tabla 2 los caracteres X significan que, por el diseño de la tarea, no es posible evaluar esa habilidad en el nivel correspondiente. Observamos un aumento en el porcentaje de éxito de los estudiantes en las habilidades evaluadas desde la tarea 1 hasta la tarea 3, por lo que asumimos que se promovió el razonamiento proporcional en las habilidades consideradas. No obstante, en el análisis se revelaron aspectos a mejorar en el diseño de tareas y correcciones en los EDVI que les permitan a los estudiantes mayor libertad para un aprendizaje significativo.

Tabla 2